一场跨越时空的数学对话

第2期开场白从数学的历史发展来看,初等数学与高等数学之间的联系是非常紧密的。然而在当前的数学教学中,二者往往处于割裂的状态。本文以一道平面几何...

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作者 | 彭刚

来源 | 本文原载于《数学文化》第十一卷(2020年)第2期

开场白

从数学的历史发展来看,初等数学与高等数学之间的联系是非常紧密的。然而在当前的数学教学中,二者往往处于割裂的状态。本文以一道平面几何题的多种解法以及推广为主线,通过虚拟对话的方式,对这些解题方法的相关历史背景及其内在联系进行了初步的探讨,尝试勾画出初等数学是如何发展到高等数学的。在某种意义上,这场对话的内容可以看成是两千多年数学发展历史的一个纵向切面。

主要人物介绍

M·克莱因:20世纪美国数学史家和数学教育家。《古今数学思想》是他的代表作之一,论述了数学思想的古往今来,这也是选择他作为此次对话主持人的主要原因。

泰勒斯:古希腊数学家、哲学家,被誉为“论证几何学的鼻祖”。

毕达哥拉斯:古希腊数学家、哲学家,毕达哥拉斯学派的创始人,该学派信奉“万物皆数”,即万事万物都可以由整数或者整数之比来表示。

希帕苏斯:毕达哥拉斯学派成员,传说他首先发现了正方形对角线与其一边的不可公度性,而被惊恐不已的其他成员扔进了大海。

欧多克斯:古希腊天文学家和数学家,他所提出的新比例理论暂时消除了由于不可公度量的出现而引发的“数学危机”。

芝诺:古希腊数学家、哲学家,因提出了一系列关于运动不可分性的哲学悖论而闻名于世。在这些悖论中,其中一个就是“论证”了希腊善跑名将阿基里斯永远追不上一只乌龟。

欧几里得:古希腊论证几何学的集大成者,其著作《原本》对后世的影响极为深远。

艾布·瓦法:中世纪阿拉伯天文学家、数学家,著有《天文学大全》,证明了平面和球面三角形的正弦定理。

笛卡尔:17世纪法国哲学家、数学家,将几何坐标体系公式化从而开创了解析几何。

关孝和:17世纪日本数学家,在1683年的著作《解伏题之法》中最早提出了行列式的概念及算法。

拉格朗日:18世纪法国数学家,数学分析的开拓者之一。

高斯:18-19世纪德国数学家,享有“数学王子”的美誉。在历史上,高斯并不是最先给出复数的几何解释的,但是由于他的巨大影响力,人们逐渐认识到这种解释的合理性,从而沟通了复数和平面几何的联系,使得复数成为解决平面上的数学问题和物理问题的重要工具。

格拉斯曼:19世纪德国数学家,历史上首次清晰地解释了“维向量空间”的概念,把维向量空间的向量和与积用纯几何方法来定义,发展了通用的向量演算法。

哈密尔顿:19世纪英国数学家,提出了著名的“四元数”;在历史上,他是第一位用“向量(vector)”这个词表示有向线段的数学家。

庞斯列:19世纪法国数学家,他使得射影几何真正变革为一门具有独立的目标和方法的学科。

康托尔:19世纪德国数学家,集合论创始人,认为“数学的本质在于它的自由”。

M·克莱因:诸位,在西方文明中数学一直是一种主要的文化力量;以神圣的数学之名,我们欢聚一堂。首先有请古希腊泰勒斯先生。

泰勒斯:今天我们来探讨几何学。几何学源远流长,人类最初的几何知识从对世界万物形的直觉中萌发出来。事实上,古埃及的几何学即产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量,“几何学”一词的希腊文意即“测地”。

古希腊时代以前的数学都以经验的积累为特征,几何学也不例外;但经验不是获取知识的唯一方法,经验也不能给人类以推理能力,我们需要一种推理方法来保证它所导出的结论具有确定性。

M·克莱因:古希腊学者们所发明的推理方法就是演绎法,即从已认可的事实推导出新命题,承认这些事实就必须接受推导出的命题;而几何学便从此进入了推理几何阶段,对于各种各样几何图形的性质作系统化和深刻的分析。

泰勒斯:的确如此。尽管历史学家把论证数学的开端归功于由我领导的爱奥尼亚学派,但实际上我们学派的兴趣主要还是在自然哲学方面,比如宇宙起源理论等等。关于我本人也有很多传说,比如说我早年经商,进行橄榄榨油机生意发了大财,在巴比伦我预报了公元前585年的一次日蚀,甚至还说我夜晚散步在全神贯注观察星星时,不小心跌到沟中成了落汤鸡——但传说毕竟是传说。

M·克莱因:关于泰勒斯先生的传说有些还是有记载的,比如新柏拉图派哲学家普罗克鲁斯先生在其著作中便介绍说泰勒斯先生证明了下面关于三角形的一个很基本的性质:等腰三角形两底角相等。

三角形是仅次于线段和直线的最基本、最简单的几何图形,并且空间中的大部分基本性质都已经在三角形的几何性质中充分体现,因此三角形是古希腊几何学所研究的重要内容之一。

泰勒斯:不错,今天我们要探讨的几何问题便是与三角形有关:如图1,为重心,过的直线交于,交于。求证:

一场跨越时空的数学对话

图1

毕达哥拉斯:泰勒斯先生,正所谓万物皆数,与,与应该均可公度!

希帕苏斯:我的名字就是一种传说,哪怕再次面临着被扔到汹涌的大海的危险,我也要说出我的发现:毕达哥拉斯先生,世上确实存在不可公度的线段!比如正方形的边长和对角线长之间的辗转丈量就是永无休止因而是不可公度的(如图2)!

一场跨越时空的数学对话

图2

欧多克斯:向伟大的希帕苏斯先生致敬!其实无论与,与是否可公度,利用比例理论我都可以证明“如果两个三角形的高相同,则它们的面积之比等于两底之比”。下面我将利用这个结论来解决泰勒斯先生所提出的问题。

一场跨越时空的数学对话

图3

如图3,取为中点,设。由是重心可知且,。从而

所以

化简即有

芝诺:欧多克斯先生的解法巧妙之至,可惜现在我没有时间来研究它。阿基里斯到底能不能追上乌龟呢?我要好好思考一下。

托勒密一世:伟大的阿基里斯怎么能追不上一只乌龟呢?芝诺先生真是幽默。不过想要理解欧多克斯先生的解法,我还要认真学习一下几何学才行。尊敬的欧几里得先生,您是几何学的集大成者,请告诉我,学习几何学有何捷径呢?

欧几里得:几何学无王者之道!尊敬的托勒密王可参阅我编写的《原本》(Elements)一书。欧多克斯先生的方法确实不错,但我发现了更为精巧的方法,应该可以加到我的《原本》中去:

一场跨越时空的数学对话

图4

如图4,同样取为中点,连接。分别过点作直线的垂线于,则有

M·克莱因:欧几里得先生不愧为几何学大师,其方法简洁明了,所作辅助线有如神来之笔,充分体现了几何学的神奇魅力,让人惊叹!

欧几里得先生的《原本》以亚里士多德先生的形式逻辑为方法论基础,将前人的工作整理、汇编,构建了历史上第一个数学公理体系,堪称西方科学的“圣经”!

艾布·瓦法:欧几里得先生果然名不虚传。不过我却要对尊敬的托勒密先生表示感谢,您的著作《大成》虽然是探讨天文学,但对三角学的贡献却是里程碑式的。受您的启发,我编写了《天文学大全》,其中关于三角形的正弦定律,可以用来解决这个几何问题。

一场跨越时空的数学对话

图5

如图5,过作交于,交于。设

由正弦定律可得

因为

所以

M·克莱因:艾布•瓦法先生的解法将此问题的一般情况与特殊情况作对比,虽计算略显复杂,也不失为一种好办法。

三角学确实是为天文学的应用而产生的——天文学可能是一门比数学的历史还要悠久的学科,若知道这一点,人类为何首先关注球面三角学而不是平面三角学便不显得奇怪了。当然,随着13世纪纳西尔•丁先生的著作《论完全四边形》的诞生,三角学便逐渐脱离天文学而成为一门独立的学科。

三角学揭示了三角形的各种各样几何量之间的函数关系,因此从某种意义上来说三角学就是三角形的解析几何。本质上讲,三角定律揭示的是平面几何的度量结构,其中正弦定律(Law of sines)与面积有关,而余弦定律(Law of cosines)——毕达哥拉斯定理的推广——则与长度有关。因此可以说艾布•瓦法先生的解法与欧多克斯先生的解法本质上是相同的。

笛卡尔:各位先生的解法的确巧妙之至,但太依赖于几何图形了,也许只适合于想象力疲乏的情况下去练习理解力;同样遗憾的是,现在的代数学也太拘泥于各种法则和公式了,似乎变成了一种充满混杂和晦暗,故意用来阻碍思想的艺术而不像一门改进思想的科学。对此,我们要感谢韦达先生,他在数学符号系统化方面的卓越工作,大大提高了代数学的一般性。我认为,是该到了把代数学以及几何学中一切最好的东西,即几何的直观和计算的程序化结合起来,互相以长补短的时候了。

M·克莱因:笛卡尔先生所言极是。您和费马先生各自独立所发明的解析几何,确实是数学发展史上的重要里程碑。不过费马先生作为数学家与您还是风格迥异,您的哲学思想对后世可谓影响深远。

笛卡尔:Je pense, donc jesuis!(我思故我在)以任意点为原点建立我的直角坐标系。设

由三点共线知:

为方便计算可建立下表(计算左右各项相应的系数):

一场跨越时空的数学对话

由此可得

拉格朗日:此法甚好!历史告诉我们,只要代数同几何分道扬镳,它们的进展就缓慢,它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结合成为伴侣时,它们就互相吸取新鲜的活力,从此数学就以快速的步伐走向完善。

M·克莱因:的确如此,微积分的诞生及其蓬勃发展即是最有力的证据。解析几何的妙处还在于提供了解决几何问题的一般方法:将几何元素代数化(点与实数对对应,曲线与方程对应),因此在代数的帮助下,几何元素也可以自由的进行运算;要知道只通过图形进行论证,一些隐藏较深的数量关系便难以发现,解题途径自然是千奇百怪。不过笛卡尔先生的上述证明应该还可以简化。

笛卡尔:根据坐标系可以任意建立的原理,取点为原点即可得到:

从而有;由于三点不共线,故,所以。

M·克莱因:果不其然!不过相对于纯几何法,解析法往往面临计算过于繁琐的窘境,但随着代数工具的不断改进,这种局面应该会有很大改观。

关孝和:首先我代表东方的数学家们向大家致敬!笛卡尔先生的证明确实可以利用新的代数工具——行列式来表示:由三点共线知:

利用行列式的性质化简可得:

用一些行列式性质可以得到

由于

所以。

M·克莱因:确实方便了不少。在西方,行列式起源于线性方程组的求解,莱布尼兹先生对此颇有研究;东方的关孝和先生则是从高次方程组消元法入手对这一概念进行阐述的。尽管处理方式不同,最终殊途同归,可谓春天的紫罗兰处处开放!

经过比较我们还可以发现,如果将行列式展开,得到的便是笛卡尔先生最初的计算过程,因此利用行列式不但解释了为何当三点不共线时有,同时还给出了相应的几何解释,即它表示的是有向面积的两倍。

另外,根据不难发现与是等价的,从图形上看其实也就是笛卡尔先生所用到的三点不共线以及三点不共线本质相同。由此可见,无论计算的工具和途径有何变化,背后所依赖的几何事实却是不变的。

费马:言之有理!关于此问题的解析法,我突然想到一个真正奇妙的证明。

M·克莱因:甚好!尊敬的费马先生,不像的整数解问题,我们这个问题您有足够的时间来思考与阐述。

费马:以任意点为原点建立直角坐标系,由三点共线可知存在实数使得

由三点不共线知

从而有。

M·克莱因:妙哉!妙哉!上述方法其实蕴含着平面的一个相当根本的性质,即平面上任意一点的坐标都可以由已知的不共线三点的坐标来表示,且表示法唯一。本质上,这就是我们刚才提到的“几何事实”:平面是实数域上的二维向量空间。当然,上述解法也可以直接用向量来表达。

格拉斯曼:向量是近代数学的一个重要工具,它最早起源于物理学,人类很早就知道力的合成满足平行四边形法则;除此之外,位置几何是向量理论的又一个重要思想源泉,这一源泉早期可以追溯到莱布尼兹先生的位置几何的概念。

M·克莱因:莱布尼兹先生想创造一种可以作为空间分析的直接方法的系统,确实很有远见。如果说欧几里得几何的特点是综合,笛卡尔几何的特点是分析,那么向量便同时拥有这两大特点:它既可以向几何图形一样自由地移动,也可以像数一样自由地运算。另外,笛卡尔先生所提到的直角坐标系可以任意建立的事情,本质上就是向量可以自由地平移!

一场跨越时空的数学对话

图6

格拉斯曼:的确如此。我们来看如何用向量来解决这个平面几何问题。如图6,设

由是重心可得

由三点共线可知存在数使得

由三点不共线知

从而有

M·克莱因:妙哉!妙哉!向量工具的优点就是直观明了且又计算简单。

高斯:向量的概念确实很基本,比如复数也可以用向量来表示,因此上述向量证法也可以改用复数的语言来表述:以A为原点建立复平面,设

其中,都是实数。设点所对应的复数分别为,则

由三点共线知:存在实数使得,即

由三点不共线得

即。

M·克莱因:复数与向量之间确实有天然的联系。在平面上,点、向量以及复数在一定情况下可以等同起来,所以很多几何问题既可以用向量来解决,也可以用复数来解决。

哈密尔顿:诸位,让我来提醒大家一件非常有趣的事情吧:若点落在线段延长线上,规定

则上述解析法和向量法证明依然成立!

M•克莱因:有意思!

哈密尔顿:说明此事只需引入线段的方向即可。当点落在延长线上时,线段和恰好方向相反,因此可以规定

同样的道理,当落在线段延长线上时就有

如图7。这里蕴含的其实就是有向线段的概念,我们通常用它来表示平面向量。

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图7

M·克莱因:这相当于把原命题推广了,甚好!不过当时(如图8)有

如果此时

则的结论也成立,但遗憾的是此时点并不存在,上述种种方法中唯一的约束就是且。

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图8

庞斯列:设平面上所有平行的一组直线相交于无穷远点,则平面上的点和直线就完全对称了。就上述问题而言即有

此时也成立!

康托尔:数学的本质在于它的自由!

M·克莱因:无穷的数学世界无穷无尽,人类的探索也永无止境。感谢诸位参与此次对话。最后不得不提及古希腊的柏拉图先生——作为古希腊最有学问的学者,虽然他不是一名数学家,但他深信数学对哲学和了解宇宙的重要作用,倡导为了净化灵魂而去学习数学。这种精神将激励我们永远前行!

注释

M•克莱因.西方文化中的数学.张祖贵译.上海:复旦大学出版社,2004.

李文林.数学史概论(第2版).北京:高等教育出版社,2002.

项武义. 基础几何学. 北京:人民教育出版社,2004.

该问题参见:

http://www.cut-the-knot.org/triangle/CharacteristicPropertyOfCentroid.shtml.

此解法参见:

http://www.cut-the-knot.org/triangle/CharacteristicPropertyOfCentroid.shtml.

见:项武义. 基础几何学. 北京:人民教育出版社,2004.

杨浩菊. 行列式理论历史研究. 西安:西北大学,2004.

孙庆华. 向量理论历史研究. 西安:西北大学,2006.

梅向明. 高等几何(第2 版). 北京:高等教育出版社,2000.

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作者简介 :

彭刚, 广西师范大学数学与统计学院讲师。2017 年博士毕业于华东师范大学数学系,研究兴趣为数学史与数学教育、数学文化传播。

文章为原创内容,版权归【数学文化】所有

如需转载请联系:support@global-sci.org

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