为什么1+1=2?

我们数学家认为2是1的继数,3是2的继数,如此等等。 因此1+1=2是一个论断,它无非是指2是1的继数。 除了继承原则以外,数数时还有别的基本原理。 譬如问...

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作者 | 恩里科·蓬比里

笔录| 安德雷·贝尔

来源 |《诺贝尔奖获得者与儿童对话》,[德]施蒂克尔编,生活.读书.新知三联书店,2013年07月,本文仅作分享交流之用,如有侵权请联系删除。

为什么1+1=2?

有一天,我家附近一家小商店的老板想出了一个有趣的主意。他将满满的一杯糖果放在他的柜台上,并承诺,谁猜中里面有多少块糖果,就把这一整杯糖果送给谁。由于我是数学家,我当然不愿意只是简单地猜一猜,而是要找出糖果的精确数目。可是怎么找?我试图用肉眼估计,一块糖果大约有多大,糖果间的空间多大以及玻璃杯多大。然后我开始计算。但是,可惜我计算出来的数字,跟大多数其他顾客的数字一样,离正确的数字相去甚远。

我们可以看出一只果盘里放着4个还是5个苹果,但是,如果十几种物品放在一起,我们就不能同时看出来了。我们更不可能一眼就看出,多少块糖果装满整只玻璃杯。我们的眼睛同样也不能测定糖块间的距离,精确度达到毫米之间。只有用专门的仪器才行。所以我所做的糖果数量的测定试验,没有多大成功的希望。但是它是一个很好的例子,可以说明我们数学家如何着手解决一个难题:我们总是要简化一项任务,办法就是,我们把它化为基本数值和这些数值之间的关系——就DC糖果而言,就是化为糖果数值、糖果间距离数值和玻璃杯数值之间的关系。知道了这些数值,人们才能精确地计算出糖果的数量。

全部数学探讨的就是这样的关系。这在数数时就已经开始了。虽然数数对于我们来说,是世界上最自然不过的事情,这里面还是有着很重要的原则。数数究意是什么意思?为什么1+1=2?你这样问我。为了明白这个道理,你就必须仔细观察,你在数数时做些什么。你如何数玻璃杯里的糖果?你拿一块出来,把它放在桌上。然后你拿第二块出来,把它放在第一块旁边。如果现在有人问你,你拿出来几块糖果,你当然回答:两块!在数数时我们在想像中概括这两块糖果,并说这是两块糖果,所以我们就写1+1=2。

从一个物件向两个物件迈出的这第一步是数数的基础,此后便总是这样继续进行下去。你又从玻璃杯里拿出来一块糖果,桌上就放着2+1块糖果。所以我们说“3块糖果”并写2+1=3。因此数数的意思是从一个数向紧挨着的下一个数前进。这个对数字的原则也可以这样表述:以单位1开始,一边数1,得2,一边数1,得3,如此等等。我们数学家认为2是1的继数,3是2的继数,如此等等。因此1+1=2是一个论断,它无非是指2是1的继数。除了继承原则以外,数数时还有别的基本原理。譬如问题不在于你把2块和3块加在一起,还是把3块和2块加在一起。顺序是不重要的。用两种方法你都得到5块糖果。公式是这样的:2+3=3+2。

一旦认识了数数的基本原理,人们就能从中推导出别的原理来。譬如2+3=5随后便成为如我们所说的一个数学定理。这就是说,人们只要应用这些基本原理,就能证明2+3=5。可是这一论证我保留到本文结尾时再做。

像2+3=5这样简单的事情,人们为什么还要去证明,现在你一定会这样问;在这个例子上你的异议也有一点儿道理,因为没有人会认真断言,说2+3=6。然而经验已经向我们数学家表明,每一个论断,不管是简单的还是深奥的,都应该得到证明,因为已经有几幢高大的理论大厦像纸牌搭成的房子那样倒塌了,原因就是,原以为清楚的相互关系,后来突然被证实是错误的,所以数学是极严格的。每一个不管多么小的步骤都必须有根据,否则一切都有失去控制的危险。为了不让这种事情发生,数学家们在他们这门科学发展的三千多年的历程中,创造了一种很独特的和精确的语言。多亏有了这种语言,每一个数学家才有可能审查另一个数学家做了些什么。不过这样的一种审查,有时可能很艰难,譬如就有十分复杂的数学证明,它们得写满好几百页呢。

为什么1+1=2?

可惜像这样一种高度专门化的数学语言,也有其缺点,外行往往根本就不懂得它在说些什么。连一个专家有时在听同行说话时,也会有这样一种感觉:仿佛他到了另一个国家,而他又不会讲这个国家的语言,因为数学的领域已经变得十分博大,没有哪个人会什么都知道。但是幸亏数学中也有用简单的话语就能表述的问题。譬如:有一个最大数吗,在它之后不再有别的数了?答案是否定的,因为你总是可以又添上一个1,于是你就有了一个更大的数了。所以数字的顺序1,2,3等等,用我们的话来说,是无止境的。这种数字顺序的无止境性,导致了一些奇怪的现象:譬如大多数极大,极大的数字人们永远也写不下来,即使人们想出了最机智的缩写词。我们简直就是没有这样的材料——在整个宇宙中没有足够的纸和墨水,可以把所有的巨型数字写下来。所以我们对巨型数字的理解力是极其有限的。我们知道有这样的数字,但是我们不能正确地想像它们。

为什么1+1=2?

但是数学有趣的问题不只是表现在这些巨型数字上,在微小中也有引人入胜之处。你不妨迅速地将一把尺子拿在手中,你看到:每一个厘米分成10个等份,这就是毫米。这种除法的背后的原则是十进制,我们也用它来写下我们的数字:我们用0,1,2,3,4,5,6,7,8和9这10个数字写所有我们的数字,既写年份数字2001,也写十进分数0.33333……,这是1除以3产生的数。于是每一个毫米就可以——至少在想像中——重新被分成10个等份,而这些等份中的每一个等份又可以被分成10个等份,这可以没有止境地继续进行下去。你已经猜到了:这个简单的“分成10个等份原则”的应用,像在巨型数字上那样,也会很快地把我们引向艰难的问题。

在几个世纪的过程中,数学家们已经学会扩大可以用数字表示的事物范围;他们发现了一个对于数学很重要的原则:我们如何表示某种东西——譬如一个长度,用代数法的0.5还是用几何法的1:2,这是无所谓的。就像你的朋友的一张照片不是你的朋友本人,而只是他的一幅图像,一件事物的数学描述,也不是事物本身。然而你却还是由于这种描述而认识了一件事物或一个人,如果这一描述在许多重要方面都正确的话。如果我告诉你:你去问一问人群里那个戴红领带、手里拿着黄书的人,你就知道,我指的是谁。如果我只说,你去问一问那个穿裤子的人,那么这就可能是指许多个不同的人。

所以人们已经渐渐地认识到,数学中的关键不是单个的对象,而是存在于它们之间的各种关系。所谓的数学关系,对象本身是不重要的。依我看来全部数学的核心就是研究这些关系。如同我们所说的,数学家主要研究这些关系所具有的形态,它们的结构。数学家总是想发现,哪些关系确实是基本的,并适合做别的关系的基石。就像我们在本文开头探究了数字1,2,3等等的结构那样。

在对抽象的数学作了这一短途旅行之后,让我来给你举一个例子,说明不同的对象相互处于同样的数学关系之中。你也许已经在照片上或电视中看见过的土星光环,由绕着土星打转的众多的小岩石块和冰块组成。一百多年前,法国数学家拉伯拉斯仔细观察了这个光环并考虑,它究竟为什么不会分崩离析。拉伯拉斯研究并计算了土星光环的稳定性,找到了今天按他的名字命名的拉伯拉斯公式,这个公式描述一种平衡状态。后来证实,这个拉伯拉斯公式不仅在天文学上起重要作用,而且对建一个造福所有用户的电话网络系统也有重要意义。电话机和土星光环有什么关系,你现在一定在这样想吧?毫无关系!但是描述正常运行的电话网络和土星光环的平衡的数学关系是相同的。它们两者都服从拉伯拉斯公式。

四十多年来我一直在探索一个谜。这涉及所谓的素数,即只可被自己或1除尽的数字。2,3,5,7和11是这样的素数,这一点你很快就能自己核对。每一个偶数,除了2以外,都理所当然地不是素数,因为它们都是可以被2除尽的。但是9也不是素数,因为9可以被3除尽。所以除了2以外,素数都是奇数,人们可以证明,这样的素数有无限多。然而素数为什么这样特别有意思呢,你也许在这样想?因为它们是所有数字的基础:每一个数字都是素数的一个产品——这一点古希腊人就已经知道。这就是说,人们可以把每一种数字的乘法化为素数的乘法。譬如25乘33,就等于5乘5乘3乘11。

你还记得,数字1,2,3等等的原则很简单:以1起始,然后总是加1。但是如果人们在素数上寻找一个相似的原则,这就不灵了:以2开始,然后是3,5,7,11,13,17,19,23,如此等等。停留在某一个素数上并寻找下一个素数,就没有可以找到这个素数的清楚的规则。人们自然可以列出一张素数名单:人们审核全部数字并检查,除了被1和自己之外它们是否可以被另一个数除尽。但是这不是规则,而且这也根本不是什么简单的事。你想一想,我方才给你讲过的巨型数字吧。就连碰到一个40位数的“小”巨型数字,你一辈子也列不出这样的名单来。只有挖空心思想出来的计算机程序,可以在不长的时间内,解一道这样的题。所以巨型素数在因特网上,也可以被用做保密数字,如果人们想汇钱的话。由于素数很难被识破,所以它们十分适宜于把信息重新编码。大的素数在日常商务活动中能够起到重要作用,这对于我来说,也是一件意想不到的事情。

然而比有一张素数名单更有意思的却是这样的问题:素数偶然出现在所有数字的次序中呢,还是在这后面隐藏着一种规律?最优秀的数学家已经长期寻找过这样一种规律。大约在150年前,德国人伯恩哈德·黎曼发现了这条规律可能的样子;虽然至今还没有人能证明他的猜想,但是大多数数学家相信这个猜想是对的。然而证明黎曼的猜想为什么就这么难呢?这是一个秘密,我也在试图揭开这个秘密;有越来越多的征兆表明,这背后隐藏着某种全新的东西。所以素数问题也被认为是数学的最重要的未解之谜。这样一个让大家费尽心思也猜不破的谜,自然大大地激励着许多年轻人去学会数学语言。人们一旦懂得了这门语言,非同寻常的可能性就会向思维展现出来。当然一切必须具有数学的正确性,但是人们还是相当自由的。像在艺术中那样,一个画家一旦学会了绘画的技巧,他自己就可以决定,他用画笔往画布上画什么,而不画什么。

在数学中什么是技巧,你也许在这样考虑吧?我现在就向你说明这一点,我向你概略地叙述我先前答应要做的证明。论断是2+3=5。为了论证这一论断,我们只须证明2+3=4+1,因为4+1是4的继承者,是5。这件事我们分三个步骤来做。我们知道2是1的继数,即1+1,3是2的继数,即2+1。因而我们可以将2+3写成(1+1)+(2+1),这时加上去的括号表示先合计括号内的数字。第二步我们用1+1取代还剩下的2(因为2是1的继数)并得到(1+1)+[(1+1)+1]。为了继续进行下去,我们现在还需要另一个适用于数数的基本定理:问题不在于我们如何加括号。这就是说,我们也可以把(1+1)+[(1+1)+1]写成(1+1+1+1)+1。这样我们也就已经完成了证明,因为这是1+1+1+1=4,即2+3=4+1,并且因此是4的继数。

许多人不喜欢把什么事情都弄得像这个小小证明这般严格。另一些人则立刻就对这种逻辑思维表示满意。如果你也是这样的人,那么你就挑选一些好书来读吧,这些书特别有意思,并将激励你获取更多的知识——比为什么1+1=2还多,因为数学像一座有无数花卉和植物的花园那样丰富多彩。然而你永远也不要忘记:不管这门科学多么美好,它并不就是一切。世界上有更重要的事物,尤其重要的是人性。我本人是一个拥有残疾女儿的父亲。她虽然耳聋而且弱智,却是一个神奇的人。我从她那儿学到的有关生活的知识,比我从童年时代开始至今所学习的全部数学理论还要多。我的女儿是我一生中所遇到的最美好的天使。

作者简介:

恩里科·蓬比里(Errico Bombieri),1946年11月26日出生。因为他对各种数学问题所从事的基础研究工作而获1974年费尔兹奖章。他在美国新泽西州普林斯顿的高级研究学院从事教学工作,费尔兹奖章仅每4年颁发一次,并被公认为数学界的最高 PDG奖赏——相当于在数学领域不颁发的诺贝尔奖。

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